■　ｔ分布の形状

　ｔ分布（t-distribution）は母集団の分散が未知である場合に、平均に関する仮説を検定する際に使える。回帰分析のパラメータは、確率変数であるから平均や分散を持つ。しかし、母集団の分散はわからないので、これらの平均値（推定値）を検定するのにはｔ検定が使われる。

　ｔ分布の形は、標準正規分布（平均：０、分散：１）に似て原点に対し左右対称で、データ数（自由度）が多くなればなるほど標準正規分布の形状に近くなる。図でわかるようにｔ分布の方が裾が厚くなっている。

■　WEBコンポーネントによるｔ分布の形状

図　ｔ分布と正規分布（クリックすると大きくなります）

□例題：ｔ分布とｔ値	難易度：★	目安時間：10分	データ
曲線の下の部分とX軸に囲まれた部分の面積はいくつか？上の拡大図をプリントアウトしｔ値が１のときの位置とその確率を示しなさい。また、1以上である確率を示しなさい。
ヒント：ｔが1以上である確率は面積に相当することに注意する。

　自由度と決めるとそれに応じたｔ分布の形状が決定される。その分布に従って各値ごとの確率密度を決定する（横軸x：ｔ値、縦軸y：確率密度）。図の山の頂上のｔ値は0である。
　ここでの関数は

y = f(x,自由度)　　　　　　(式1)

となる。

■　ｔ分布の数値表

　統計学のテキストの巻末付録として、様々な分布関数の数値表が掲載されている場合が多い。ｔ分布の数値表は必ずといってよいほど掲載されているが、これは確率と自由度でそれに対応する臨界値が決まるというものである。。Excelの標準関数のTINV関数（ｔ分布の逆関数）を使って数値表を作成することができる。

　作成後に、この表はどのように用いるかを考えよ。

■　ｔ値の意味と合格基準

　もしｔ値が1であった場合、真の値が0であるという（すなわちパラメータを推定する意味がない）確率は非常に高くなる。逆に、ｔ値が15というような頂上からかなり遠い位置にあれば、この推定値は0である可能性はほとんどなくなる。（しかし、何百回に一度ぐらいの程度で0が生ずる可能性はまだ残されている。）このようなｔ値を用いて判断することで客観的に推定値は0ではないことがある程度保証される尺度が作成できる。

　では、何パーセントの割合で生ずれば0でないと判断してよいのだろうか。これは「東京は富士山の麓（付近）にある」といえるかという質問に類似している。「箱根は富士山の麓にある」ことは皆が認めるであろうが、前者を認める人は少ないはずである。仮に富士山の周辺の高度150m以上を富士山の麓とするといった適当な基準を決めて判断すれば、その地域を限定できる。

　同様に平均0であるかどうかを判断するのに、裾野の面積はｔ分布において生ずる確率とみなせるので、0となる確率を5%（有意水準）未満という基準を使用することで係数を0とみなすかどうかの線を引く。5%有意水準とすれば、20回に1回の割合で起こる確率ということであり、有意水準1%、あるいは5%とするかどうかは分析者の判断による。通常の回帰分析では、t値は少なくとも２以上は要求される。

注意：t値が大きいことは，その変数の説明力が大きいということにはならないので注意すること。

■　有意水準：合否の基準

　例えば、テストにおいて８５点をとったとする。その成績で合格するかどうかはテストを実施する方が決める。この場合に、合格基準が８０点であれば合格となるが、厳しい基準９０点となると不合格になってしまう。

　今、ｂ＝０であることをチェック（テスト）するため、その基準を決める。この基準を確率を用いて表したものが有意水準（significance　level）である。１／２０で生じる基準を有意水準５％、１／１００で生じる基準を有意水準１％という。厳しい基準で合格した方が、信頼性は増すが、その基準はｔ値表によって決められる。

■　ｐ値

　ｔ値に代わりｐ値（p-value）という統計量も使われる。ｐ値とは、パラメータのｔ値から計算した累積密度である。この統計量を用いるメリットは、有意水準に対して合否を決定するするのでなく試験者がその値から直接判断できる点である。

　例えば、自由度１５でパラメータのｔ値が３であるとすると、ｔ値表から５％や１％で合格しているかどうかを調査をしなくてはならないが、ｐ値ならばその値から13.4%の確率で生ずるというように判断できるので、合格基準と比較する作業は不要となる。

　なお、Excelの分析ツールにある回帰分析では、t値だけでなくp値も出力される。

■　ｔ分布をする統計量

　Y = a + bX + u　の推定時に誤差項uに関する仮定が必要となる。例えば、標本平均μ、分散σ²の正規分布に従う母集団から得られたn個のデータをx₁, x₂, ・・・x_n とするとき、次の式で与えられるTは自由度n-1のｔ分布に従う。（証明略）

　　　　　　　（式１)

ここで、式１を変形して計算しやすい形（式２、式３）に改める。

■　有意性検定：ｔ検定

　もし推定した係数がゼロ（ｂ＝０）であったならばどうであろうか。このようなケースではパラメータの推定の意味そのものがおかしい。すなわち，その説明変数は何も説明していないことと同じである。ここでは、パラメータの有意性（すなわち、パラメータの値がゼロでないこと）を確かめるために各係数に対しｔ検定を行う。

　ここで、ｔ検定を行うときに誤差項に関する仮定が必要となる。

仮定：　撹乱項 u₁, u₂,・・・ u_t は相互に、平均0,分散σ²の正規分布に従う。

　例えば、標本平均のｔ検定をする場合では、平均μ、分散σ²の正規分布に従う母集団から得られたn個のデータをx₁, x₂, ・・・x_n とするとき、次の式で与えられるｔは自由度n-1のｔ分布に従う。（証明略）

　　　　　　　（式１)

（ただし、はデータの平均、はデータの分散。）この式は、基準（正規）化の式に類似している。（どの変数が異なっているかを考えよ。）この分布の形状をもとに判定をする。この分布の詳細については次の項を参照せよ。

last modified :2005.09.07